1ERE S GENERALITES SUR LES FONCTIONS / PARITE D'UNE FONCTION

GÉNÉRALITÉ FONCTIONS

• Fonction paire

Définition : une fonction est paire si :  si f(-x) = f(x)

• Propriété d’une fonction paire :

Elle possède un axe de symétrie : axe des ordonnés

• Fonction impaire

Définition : une fonction est paire si :  si f(-x) = f(x)

• Propriété d’une fonction impaire 

Elle possède un centre de symétrie (origine)

POINT MÉTHODOLOGIE POUR ETUDIER LA PARITE

1.  Remplacer dans la fonction f x par –x
2. Calculer f(-x)

•  Si (f(-x) = f(x) elle est paire, si f(-x) = -f(x) elle est impaire
•  Si ni l’un ni l’autre elle est ni paire ni impaire.

VIDEOS SUR LE SUJET (SOURCE NETPROF)

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1. EXERCICES

Déterminer si les fonctions suivantes sont paires ou impaires : $$g(x)=x^4-\frac 32x^2-1$$ ; $$g(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$$;$$h(x)=x^4-x^6$$
Réponse : f(x) est paire; g(x) impaire;h(x) est paire
Déterminer si les fonctions suivantes sont paires ou impaires :

Impaire

Impaire

Paire

Ni paire, ni impaire

Compléter la fonction pour qu'elle soit paire et impaire

1ERE S GENERALITES SUR LES FONCTIONS / PARITE D'UNE FONCTION

GÉNÉRALITÉ FONCTIONS

• Fonction paire

Définition : une fonction est paire si :  si f(-x) = f(x)

• Propriété d’une fonction paire :

Elle possède un axe de symétrie : axe des ordonnés

• Fonction impaire

Définition : une fonction est paire si :  si f(-x) = f(x)

• Propriété d’une fonction impaire 

Elle possède un centre de symétrie (origine)

POINT MÉTHODOLOGIE POUR ETUDIER LA PARITE

1.  Remplacer dans la fonction f x par –x
2. Calculer f(-x)

•  Si (f(-x) = f(x) elle est paire, si f(-x) = -f(x) elle est impaire
•  Si ni l’un ni l’autre elle est ni paire ni impaire.

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1. EXERCICES

Déterminer si les fonctions suivantes sont paires ou impaires : $$g(x)=x^4-\frac 32x^2-1$$ ; $$g(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$$;$$h(x)=x^4-x^6$$
Réponse : f(x) est paire; g(x) impaire;h(x) est paire
Déterminer si les fonctions suivantes sont paires ou impaires :

Impaire

Impaire

Paire

Ni paire, ni impaire

Compléter la fonction pour qu'elle soit paire et impaire

1ERE S GENERALITE SUR LES FONCTIONS / SENS DE VARIATION

DÉFINITION D'UNE FONCTION CROISSANTE

Etudier le sens de variation d’une fonction f(x) sur un intervalle c’est déterminer pour tout x de cet intervalle si la fonction est croissante, décroissante, constante

FONCTION CROISSANTE : 

Pour tout  x1, x2  de l’intervalle d’étude si  $$ x1<x2 $$ et si $$ f(x_1)< f(x_2)$$ alors la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle d’étude

FONCTION DECROISSANTE : 

Pour tout  x1, x2  de l’intervalle d’étude si  $$ x1<x2 $$ et si $$ f(x_1)> f(x_1)$$ alors la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle d’étude

METHODOLOGIE

Exemple de méthode pour démontrer qu’une fonction de type $$ f(x) = \frac {ax+b}{bx+c}$$   est croissante ou décroissante sur un intervalle  [a;b]  a < x < b

On étudie le signe de la différence $$f(x1) – f(x2)$$ sur l’intervalle

Pour cela on calcule $$f(x_1)$$
On calcule $$f(x_2)$$

 On calcule la différence $$f(x_1)-f(x_2)$$
 On se sert du fait que  $$a<x_1<x_2<b$$ pour pouvoir conclure sur le signe de la différence

AUTRE RESSOURCES :

EXEMPLE

Exemple simple démontrer que  $$ f(x) = \frac {1}{x}$$ est strictement décroissante

On calcule $$ f(x_1) = \frac {1}{x_1}$$
On calcule $$ f(x_2) = \frac {1}{x_2}$$

$$f(x_1)-f(x_2) =\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}$$  

Or $$x_2>x_1>0$$ donc le numérateur $$(x_2-x_1)>0$$   

Or $$x_2>x_1>0$$ donc le dénominateur $$x_21x_12>0$$

Conclusion : $$f(x_1)-f(x_2)>0$$ donc $$f(x-1)>f(x_2)$$ donc la fonction $$ f(x) = \frac {1}{x}$$ est décroissante

1ERE S GENERALITE SUR LES FONCTIONS / SENS DE VARIATION

DÉFINITION D'UNE FONCTION CROISSANTE

Etudier le sens de variation d’une fonction f(x) sur un intervalle c’est déterminer pour tout x de cet intervalle si la fonction est croissante, décroissante, constante

FONCTION CROISSANTE : 

Pour tout  x1, x2  de l’intervalle d’étude si  $$ x1<x2 $$ et si $$ f(x_1)< f(x_2)$$ alors la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle d’étude

FONCTION DECROISSANTE : 

Pour tout  x1, x2  de l’intervalle d’étude si  $$ x1<x2 $$ et si $$ f(x_1)> f(x_1)$$ alors la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle d’étude

METHODOLOGIE

Exemple de méthode pour démontrer qu’une fonction de type $$ f(x) = \frac {ax+b}{bx+c}$$   est croissante ou décroissante sur un intervalle  [a;b]  a < x < b

On étudie le signe de la différence $$f(x1) – f(x2)$$ sur l’intervalle

Pour cela on calcule $$f(x_1)$$
On calcule $$f(x_2)$$

 On calcule la différence $$f(x_1)-f(x_2)$$
 On se sert du fait que  $$a<x_1<x_2<b$$ pour pouvoir conclure sur le signe de la différence

AUTRE RESSOURCES :

EXEMPLE

Exemple simple démontrer que  $$ f(x) = \frac {1}{x}$$ est strictement décroissante

On calcule $$ f(x_1) = \frac {1}{x_1}$$
On calcule $$ f(x_2) = \frac {1}{x_2}$$

$$f(x_1)-f(x_2) =\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}$$  

Or $$x_2>x_1>0$$ donc le numérateur $$(x_2-x_1)>0$$   

Or $$x_2>x_1>0$$ donc le dénominateur $$x_21x_12>0$$

Conclusion : $$f(x_1)-f(x_2)>0$$ donc $$f(x-1)>f(x_2)$$ donc la fonction $$ f(x) = \frac {1}{x}$$ est décroissante

titre du premier article

\[\mathbf{V}_1 \times \mathbf{V}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial X}{\partial u} & \frac{\partial Y}{\partial u} & 0 \\ \frac{\partial X}{\partial v} & \frac{\partial Y}{\partial v} & 0 \end{vmatrix} \]

titre du premier article

\[\mathbf{V}_1 \times \mathbf{V}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial X}{\partial u} & \frac{\partial Y}{\partial u} & 0 \\ \frac{\partial X}{\partial v} & \frac{\partial Y}{\partial v} & 0 \end{vmatrix} \]