1ERE S GENERALITE SUR LES FONCTIONS / SENS DE VARIATION

DÉFINITION D'UNE FONCTION CROISSANTE

Etudier le sens de variation d’une fonction f(x) sur un intervalle c’est déterminer pour tout x de cet intervalle si la fonction est croissante, décroissante, constante

FONCTION CROISSANTE : 

Pour tout  x1, x2  de l’intervalle d’étude si  $$ x1<x2 $$ et si $$ f(x_1)< f(x_2)$$ alors la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle d’étude

FONCTION DECROISSANTE : 

Pour tout  x1, x2  de l’intervalle d’étude si  $$ x1<x2 $$ et si $$ f(x_1)> f(x_1)$$ alors la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle d’étude

METHODOLOGIE

Exemple de méthode pour démontrer qu’une fonction de type $$ f(x) = \frac {ax+b}{bx+c}$$   est croissante ou décroissante sur un intervalle  [a;b]  a < x < b

On étudie le signe de la différence $$f(x1) – f(x2)$$ sur l’intervalle

Pour cela on calcule $$f(x_1)$$
On calcule $$f(x_2)$$

 On calcule la différence $$f(x_1)-f(x_2)$$
 On se sert du fait que  $$a<x_1<x_2<b$$ pour pouvoir conclure sur le signe de la différence

AUTRE RESSOURCES :

EXEMPLE

Exemple simple démontrer que  $$ f(x) = \frac {1}{x}$$ est strictement décroissante

On calcule $$ f(x_1) = \frac {1}{x_1}$$
On calcule $$ f(x_2) = \frac {1}{x_2}$$

$$f(x_1)-f(x_2) =\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}$$  

Or $$x_2>x_1>0$$ donc le numérateur $$(x_2-x_1)>0$$   

Or $$x_2>x_1>0$$ donc le dénominateur $$x_21x_12>0$$

Conclusion : $$f(x_1)-f(x_2)>0$$ donc $$f(x-1)>f(x_2)$$ donc la fonction $$ f(x) = \frac {1}{x}$$ est décroissante